About me

the foto of mine

haloo…

Selamat datang di blog winasihmatematika.wordpress.com, kalau ingin diskusi tentang matematika silakan sering-sering berkunjung ke sini ya…….

Salam Hangat

Ni Wayan Winasih

Advertisements

DERET GEOMETRI

DERET GEOMETRI

Semua suku-suku dari barisan geometri jika dijumlahkan maka akan membentuk deret geometri : a + ar+…+ar^n-1
Jika jumlah n suku pertama disebut Sn maka ;
Sn = a (r^n -1)/ r-1 ; r > 1
Dan
Sn = a(1- r^n)/1-r ; r<1

Contoh Soal :
1. Tentukan jumlah sembilan suku pertama deret geometri 3 +6 + 12 + 24+…
Penyelesaian :
a = 3, r= 6/3 =2, n =9
Sn = a (r^n-1)/ r-1
Sn = 3 (2^9-1)/ 2-1
Sn = 3 (512-1)
Sn = 3 (511)
Sn= 1533

2. Tentukan nilai n agar jumlah deret 2 + 2^2 + 2^3+…+2^n = 126
Penyelesaian :
a= 2 , r = 2^2/2= 2, Sn = 126
Sn = a (r^n-1)/ r-1
126 = 2 (2^n-1)/2-1
126 = 2 . 2^n – 2 (bagi
63= 2^n-1
64 = 2^n
2^6 = 2^n
Jadi, n = 6

KUIS :
1. Hitunglah jumlah dari barisan dibawah ini :
a. 64 + 32 + 16+… sampai suku ke 11
b. 1 + x + x^2+.. sampai suku ke 7
c. 1-2 + 4-8 +16 +… sampai suku ke 9
2. Carilah n jika diketahui : 3 + 3^2+3^3 +…+ 3^n = 1092
3. Diketahui suatu deret geometri U9 =128 dan U4 = -4. Hitunglah S12!

Oke, Sekian dulu postingan dari saya, apabila ada yang tidak dimengerti bisa langsung ditanyakan. Untuk jawaban Kuisnya bisa ditulis di kotak komentar ya… :D
SEMOGA BERMANFAAT

MATERI MATEMATIKA SMP

Bilangan Bulat

Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asliZ juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian

  1. 1.      Pengertian Bilangan Bulat
    Bilangan bulat terdiri dari
    – bilangan asli : 1, 2, 3, …
    – bilangan nol : 0
    – bilangan negatif : …, -3, -2, -1
    Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
    Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
    a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, …}
    b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, …}
    c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, …}
    d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, …}
    e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, …}2. Membandingkan Bilangan Bulat
    Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
    a. 9 > 4, karena 9 terletak di sebelah kanan 4,
    b. (-6) < 3, karena (-6) terletak di sebelah kiri 3, dan lain sebagainya.

    3. Penjumlahan dan Sifatnya
    Salah satu Rumus penting :

    Contoh : 6 + (-9 ) = 6 – 9  = -3

Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :

b. Asosiatif :

c. Tertutup :

d. Memiliki identitas :

e. Invers penjumlahan :

4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 9 – (-2) = 9 + 2 = 11

5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-4) = (-4) + (-4) + (-4)

Sifat-sifat :

6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :

7. Perpangkatan dan Sifat

8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

 

Bentuk Aljabar

 

A. Pengertian Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah bentuk matematika yang didalamnya memuat variabel atau

konstanta. Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut!

1) 2x

2) 4×2 + 3

3) –3x2 + 2y + 1

Bentuk aljabar 1 terdiri dari 1 suku, disebut bentuk aljabar suku 1

Bentuk aljabar 2 disebut bentuk aljabar suku 2,

Bentuk aljabar 3 disebut bentuk aljabar suku 3.

Perhatikan bentuk aljabar 3!, x dan y disebut variabel, –3 dan 2 disebut koefisien, dan 1 disebut

konstanta.

B. Suku-suku Sejenis

Dua buah suku dikatakan sejenis bila kedua suku itu memiliki variabel dan pangkat yang

sama. Perhatikan bentuk aljabar berikut! 2x2 + 3x – 6x – x. Bentuk aljabar ini memiliki 4

buah suku, yaitu 2x2, 3x, –6x2 dan –x.  Suku 2x2 sejenis dengan suku –6x2, karena kedua

suku itu memiliki variabel yang sama, yaitu x, dan memiliki pangkat yang sama, yaitu 2.

Suku 3x sejenis dengan –x.

C. Penjumlahan dan Pengurangan

Dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua bentuk aljabar itu

sejenis. Perhatikan contoh berikut!

3x2 + 6x – 2x2 – 10x = 3x2– 2x2 + 6x – 10x = x2 – 4x.

Contoh Soal dan Pembahasan:

1.  Jumlah dari 8x2 – 5x – 11 dan 20 + 5x – 9x2 adalah ….

A. –x2 + 9

B. –x2 – 9

C. x2 + 9

D. x2 – 9

Pembahasan:

8x2 – 5x – 11 + 20 + 5x – 9x2 = 8x2 – 9x2 – 5x + 5x – 11 + 20 = –x2 + 9

Jawaban: A

1. Hasil pengurangan 3p2 – 7 oleh p2 – 3p – 2 adalah ….

A. –2p2 + 3p – 5

B. –2p2 – 3p + 5

C. 2p2 + 3p – 5

D. 2p2 – 3p + 5

Pembahasan:

3p2 – 7 – (p2 – 3p – 2) = 3p2 – 7 – p2 + 3p + 2  = 2p2 – p2+ 3p – 7 + 2 = 2p2 + 3p – 5

Jawaban: C

2. Hasil pengurangan 2p – p2 dari p2 – p + 3 adalah ….

A. 2p2+ 3

B. 2p2 – 3p + 3

C. 2p2 + p + 3

D. 3p2 + 3

Pembahasan:

P2 – p + 3 – (2p – p2) = p2 – p + 3 – 2p + p2 = p2 + p2 – p – 2p + 3  = 2p2 – 3p + 3

Jawaban: B

D. Perkalian

Bentuk dan Contoh

1. Suku 1 dan Suku 2

a(b + c) = ab + ac

–3x(2x + 6)  = –3x.2x – 3x.6   = –6x2 – 18x

2. Suku 2 dan Suku 2

(a + b)(c + d) = ab + ad + bc + bd

Contoh :

(x + 2)(2x – 5) = x.2x – x.5 + 2.2x – 2.5   = 2x2 – 5x + 4x – 10  = 2x2 – x – 10

3. Perkalian Istimewa

(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)(a – b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)(a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

Contoh :

(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2+ 12x + 9

(3x – 5)2 = (3x)2 – 2.3x.5 + 52 = 9x2 – 30x + 25

(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4x2 – 9

Contoh Soal dan Pembahasan:

Hasil dari –2x(2y – x) adalah….

A. –4xy – 2x

B. –4xy – x2

C. 2x – 4xy

D. 2x2 – 4xy

Pembahasan: –2x(2y – x) = –2x.2y + 2x.x = –4xy + 2x2 = 2x2 – 4xy

Jawaban: D

E. Pemfaktoran

Bentuk dan Contoh

1 ab + ac = a(b + c)

9x + 12y = 3.3x + 3.4y = 3(3x + 4y)

2. x2 + bx + c = (x + p)(x + q),dengan pq = c dan p + q = b

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

3.  ax2 + bx + c = (ax + p)(ax + q), a ≠ 1

dengan pq = ac dan p + q = b

3x2 – 5x – 2 = 3(3x +1)(3x – 6 = (3x + 1)(x – 2)

4. a2 – b2 = (a + b)(a – b)

9x2 – 16 = (3x + 4)(3x – 4)

5. a2 + 2ab + b2= (a + b)(a + b)

X2 + 6xy + 9y2 = x2 + 2.x.(3y) + (3y)2 =  (x + 3y)(x + 3y)

Contoh Soal dan Pembahasan:

Pemfaktoran dari 25×2 – 49y2 adalah ….

A. (25x + 49y)(x – y)

B. (25x – 7y)(x + 7y)

C. (5x –  49y)(5x – y)

D. (5x – 7y)(5x + 7y)

Pembahasan:

25x2– 49y2 = (5x + 7y)(5x – 7y) = (5x – 7y)(5x + 7y)

Jawaban: D

Materi Matematika SD

  1. Sifat Kumulatif Penjumlahan

Contoh:

(-18) + 9  =  9 + (-18)

-9   =   -9

a + b     =  b + a
2.   Sifat Komutatif Perkalian

Contoh:

-8 x 9   =  9 x (-8)

-72 =  – 72

a x b  =  b x a

3.  Sifat Asosiatif Penjumlahan

Contoh:

(8+15)  + 5   =  8 + (15+5)

23 + 5    =  8 + 20

28   =   28

(a + b) + c    =   a + (b+c)

4.  Sifat Asosiatif Perkalian

Contoh:

(4×5) x 3   =   4 x (5×3)

20 x 3   =  4  x 15

60    =   60

(axb) x c   =  a x (bx c)

5.  Sifat Distributif

Perkalian terhadap penjumlahan

Contoh:

4 x (5+2)  = (4 x 5) +  (4 x 2)

4  x 7 =   20 + 8

28   =    28

a x (b + c) =  (a x b) + (a x c)
Perkalian terhadap pengurangan

8 x (6-3)   =  (8 x 6) – (8 x 3)

8 x 3      =    48  – 24

24   =    24

a x (b – c) =  (a x b) – (a x c)

 Faktor persekutuan terbesar (FPB)

Ada beberapa cara / metode untuk menemukan faktor persekutuan terbesar.

Di bawah ini adalah beberapa di antaranya

Sebagai contoh, marilah kita cari FPB dari 24 dan 60.


Mencari faktor prima

Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan. Cek halaman tentang faktor prima untuk belajar mencari faktor prima dari sebuah bilangan bulat.

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

Lalu, kita cari faktor prima persekutuan dari kedua bilangan tersebut.

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

Faktor prima persekutuannya adalah 2, 2, dan 3. Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 24 dan 60 adalah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2 × 2 × 3 = 12.


Pembagian dengan bilangan prima

Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.

2 24 60
12 30

Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai tidak ada lagi bilangan prima yang dapat membagi bilangan yang ada di sebelah kanan.

2 24 60
2 12 30
3 6  15
2  5

FPBnya adalah 2 × 2 × 3 = 12.


Algoritma Euclid

Algoritma ini mencari FPB dengan cara melakukan pembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan yang hendak kita cari FPBnya sampai kita mendapatkan sisa 0 dari hasil pembagian.

Misalnya untuk contoh kita di atas, 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid adalah sebagai berikut.

  • Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Dalam contoh ini, kita bagi 60 dengan 24 dan hasilnya adalah 2 dengan sisa 12.
  • Lalu kita bagi bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 12). Jadi 24 dibagi 12, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0.
  • Karena kita sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah FPBnya, yaitu 12.

Marilah kita lihat contoh yang lain, cari FPB dari 40 dan 64.

  • 64 ÷ 40 = 1 dengan sisa 24
  • 40 ÷ 24 = 1 dengan sisa 16
  • 24 ÷ 16 = 1 dengan sisa 8
  • 16 ÷ 8 = 2 dengan sisa 0.
    Kita berhenti di sini sebab kita sudah mendapat sisa 0. Bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah 8, jadi FPB dari 40 dan 64 adalah 8

Bagaimana mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil

Beberapa cara / metode untuk mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah sebagai berikut.

Sebagai contoh, marilah kita cari FPB dari 24 dan 60.


Mencari faktor prima

Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks. Cek halaman tentang faktor prima untuk belajar mencari faktor prima dari sebuah bilangan bulat.

24 = 23 × 3
60 = 22 × 3 × 5

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari kedua bilangan di atas adalah hasil perkalian setiap faktor prima yang memiliki pangkat terbesar. Jadi untuk contoh di atas, KPKnya adalah 23 × 3 × 5 = 120.


Pembagian dengan bilangan prima

Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.

2 24 60
12 30
2 24 60
12 30

Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai kita mempunya semua bilangan prima di sebelah kiri dan di bagian bawah.

2 24 60
2 12 30
3 6  15
2  5

KPKnya adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.


Rumus

Jika kita tahu FPB dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung KPKnya dengan menggunakan rumus berikut ini.

KPK(a,b) =

a × b

FPB(a,b)

Masih dengan contoh yang sama seperti di atas, kita dapat mencari KPK dari 24 dan 60 sebagai berikut.

KPK(24,60) =

24 × 60

= 120

12